Limiti

Considerando noti i concetti di: funzione, intorno di un numero, punto di accumulazione di un insieme, limite di una funzione, limite destro e sinistro, limite infinito e limite all'infinito esponiamo gli enunciati dei teoremi più importanti che regolano le operazioni sui limiti di funzioni univoche (cioè funzioni che ad ogni valore della x fanno corrispondere un solo valore della y):

Teorema di unicità del limite

Se, al tendere di x ad x₀ numero reale, la funzione y=f(x) tende al minimo valore l numero reale, questo limite è unico.

Teorema di permanenza del segno

Se, al tendere di x ad x₀ , la funzione y=f(x) tende al limite l 0 , esiste un intorno di x₀ in cui la funzione assume lo stesso segno del suo limite. E' valido anche il viceversa.

Teorema della funzione opposta

Se, al tendere di x ad x₀ , la funzione y=f(x) tende al limite l , avremo anche che al tendere di x ad x₀ , la funzione y= -f(x) tende al limite -l .

Teorema del valore assoluto

Se, al tendere di x ad x₀ , la funzione y=f(x) tende al limite l , il valore assoluto della funzione tenderà al valore assoluto del limite.

Operazioni sui limiti

Queste operazioni si estendono ai limiti infiniti utilizzando le seguenti regole formali per k > 0:

Nel caso delle funzioni esponenziali si ha:

Nel caso delle funzioni logaritmiche si ha:

Forme indeterminate

Rispetto alle regole formali suindicate fanno eccezione i limiti che si presentano nelle cosiddette forme indeterminate, esposte di seguito, per le quali non è possibile calcolare a priori il valore del limite.

Per le forme A e B è necessario ricorrere ad alcuni artifici, algebrici ad esempio, oppure applicare il teorema di De L'Hôpital.

Per tutte le altre forme ci si può ridurre alle forme A e B applicando le identità seguenti:

Limiti (seconda parte)